Question

10．點(diǎn)E是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體對(duì)角線(xiàn)BD₁上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿(mǎn)足MD₁≥2ME的概率為$\frac{\sqrt{3}π}{16}$．

Answer 1

分析 設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為4，以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，再設(shè)M（x，y，z），利用|MD₁|≥2|MP|得出M的軌跡是以B為球心，r=2$\sqrt{3}$的球及其內(nèi)部，計(jì)算對(duì)應(yīng)的體積比，利用幾何概率求出概率值．

解答 解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為4，
以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC、DD₁為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示；

則P（3，3，1），D₁（0，0，4），
設(shè)M（x，y，z），則|MD₁|=$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}{+（z-4）}^{2}}$，
|MP|=$\sqrt{{（x-3）}^{2}{+（y-3）}^{2}{+（z-1）}^{2}}$，
由|MD₁|≥2|MP|，得
$\sqrt{{x}^{2}{+y}^{2}{+（z-4）}^{2}}$≥2$\sqrt{{（x-3）}^{2}{+（y-3）}^{2}{+（z-1）}^{2}}$，
整理得$\sqrt{{（x-4）}^{2}{+（y-4）}^{2}{+（z-0）}^{2}}$≤2$\sqrt{3}$，
即M的軌跡是以B為球心，r=2$\sqrt{3}$的球及其內(nèi)部，
在正方體中，相當(dāng)于$\frac{1}{8}$球體，
∴V_M=$\frac{1}{8}$×$\frac{4}{3}$π•r³=4$\sqrt{3}π$；
又V_正方體=4³=64，
∴在正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，點(diǎn)M滿(mǎn)足MD₁≥2ME的概率為
P=$\frac{{V}_{M}}{{V}_{正方體}}$=$\frac{{\sqrt{3}π}}{16}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}π}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型的概率計(jì)算問(wèn)題，也考查了對(duì)應(yīng)體積的比值問(wèn)題，是綜合題．