Question

18．已知P是圓C：x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，P在x軸上的射影為P′，點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MP′}$，當(dāng)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)A（0，2）的直線l與曲線E相交于點(diǎn)C，D，并且$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）設(shè)M（x，y），則P（x，2y）在圓C：x²+y²=4上，由此能求出曲線E的方程．
（II）設(shè)直線l：y=kx+2，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+16kx+12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（I）設(shè)M（x，y），
∵P是圓C：x²+y²=4上的動(dòng)點(diǎn)，P在x軸上的射影為P′，
點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MP′}$，當(dāng)P在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M的軌跡為曲線E．
∴P（x，2y）在圓C：x²+y²=4上，
∴x²+4y²=4，
即曲線E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，…（4分）
（II）經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)直線l⊥x軸時(shí)，題目條件不成立，
∴直線l存在斜率．設(shè)直線l：y=kx+2．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，
∴（1+4k²）x²+16kx+12=0．…（6分）
由△=（16k）²-4（1+4k²）-12＞0，得k²＞$\frac{3}{4}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，…．①，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，…②．…（8分）
又由$\overrightarrow{AC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$，得${x}_{1}=\frac{3}{4}{x}_{2}$，
∴x₁+x₂=$\frac{7}{4}{x}_{2}$=$\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{2}=-\frac{64k}{7（1+4{k}^{2}）}$，
$\frac{3}{4}{x}_{2}=\frac{12}{1+4{k}^{2}}$，${{x}_{2}}^{2}$=$\frac{16}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{6{4}^{2}{k}^{2}}{{7}^{2}（1+4{k}^{2}）^{2}}$，
256k²=49+196k²，
解得k=±$\frac{7\sqrt{15}}{30}$（滿足k²＞$\frac{3}{4}$），
所以直線l的斜率為k=±$\frac{7\sqrt{15}}{30}$．
所以直線l的方程為y=±$\frac{7\sqrt{15}}{30}$x+2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程、直線方程的求法，考查橢圓、射影、圓、直線方程、根的判別式、韋達(dá)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．