Question

已知函數(shù)f（x）=

ax-1

ax+1

（a＞0，且a≠1），設(shè)函數(shù)g(x)=f(x-

1

2

)+1
（Ⅰ）求證：f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）①求證：g（x）+g（1-x）=2；②求g(0)+g(

1

100

)+g(

2

100

)+…+g(

99

100

)+g(1)的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的定義證明f（x）是奇函數(shù)；
（Ⅱ）直接代入進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用①的結(jié)論化簡(jiǎn)求值．

解答：解：證明：（I）f（x）定義域?yàn)镽，f(-x)=

a-x-1

a-x+1

=

1-ax

1+ax

=-f(x)，
所以f（x）為奇函數(shù)，----------（5分）
（Ⅱ）①g(x)+g(1-x)=f(x-

1

2

)+1+f(

1

2

-x)+1=f(x-

1

2

)+f(

1

2

-x)+2
因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以 f(x-

1

2

)+f(

1

2

-x)=0，
所以g（x）+g（1-x）=2．--------------（10分）
②由①知g（x）+g（1-x）=2，
所以g(0)+…+g(1)=[g(0)+g(1)]+[g(

1

100

+g

99

100

)]+…+[g(

49

100

)+g(

51

100

)]+g(

1

2

)=2×50+1=101--------------------（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)．