Question

14．（Ⅰ）橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，兩頂點分別是（4，0，）（0，2），求橢圓的方程；
（Ⅱ）與雙曲線$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同的漸近線，且經(jīng)過點A（2，-3）的雙曲線方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設橢圓方程為mx²+ny²=1，m＞0．n＞0，m≠n，把兩頂點（4，0，）（0，2）代入，能求出此橢圓方程．
（Ⅱ）設與雙曲線$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同的漸近線的雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=λ$（λ≠0），把點A（2，-3）代入，能求出雙曲線方程．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，兩頂點分別是（4，0，）（0，2），
∴設橢圓方程為mx²+ny²=1，m＞0．n＞0，m≠n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16m=1}\\{4n=1}\end{array}\right.$，解得m=$\frac{1}{16}$，n=$\frac{1}{4}$，
∴此橢圓方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）設與雙曲線$\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$有相同的漸近線的雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}=λ$（λ≠0），
∵經(jīng)過點A（2，-3），∴$\frac{4}{2}-9=λ$，解得λ=-7，
∴所求雙曲線方程為：$\frac{y^2}{7}-\frac{x^2}{14}=1$．

點評 本題考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．