Question

【題目】【2017衡陽第二次聯(lián)考】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）如果對于任意的， 恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)函數(shù)， ，過點作函數(shù)的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標按從小到大構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項之和的值.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為；減區(qū)間為.（2）（3）

【解析】試題分析：（1）求單調(diào)區(qū)間則根據(jù)導數(shù)解不等式即可（2）令 要使恒成立，只需當時， 分析函數(shù)單調(diào)性求出最小值解不等式即可（2） 設(shè)切點坐標為，則切線斜率為從而切線方程為 代入M，令， ，這兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點對稱，則它們交點的橫坐標也關(guān)于對稱，從而所作的所有切線的切點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列的項也關(guān)于成對出現(xiàn)根據(jù)此規(guī)律即可分析得解

試題解析：

⑴

的增區(qū)間為；減區(qū)間為.

⑵令

要使恒成立，只需當時，

令，則對恒成立

在上是增函數(shù)，則

①當時， 恒成立， 在上為增函數(shù)

， 滿足題意；

②當時， 在上有實根, 在上是增函數(shù)

則當時， ， 不符合題意；

③當時， 恒成立， 在上為減函數(shù)，

不符合題意

，即.

⑶

設(shè)切點坐標為，則切線斜率為

從而切線方程為

令， ，這兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點對稱，則它們交點的橫坐標也關(guān)于對稱，從而所作的所有切線的切點的橫坐標構(gòu)成數(shù)列的項也關(guān)于成對出現(xiàn)，又在共有1008對，每對和為.

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