Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）證明： ，直線都不是曲線的切線；

（Ⅱ）若，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）設出切點，分別用函數的導數值和直線的兩點表示斜率，得方程，發(fā)現方程的解為，與定義域矛盾；

（Ⅱ）原問題轉化為，令， , 則，使成立，討論函數的最小值即可.

試題解析：

（Ⅰ）的定義域為， ，直線過定點，

若直線與曲線相切于點（且），則 ，即

，①

設， ，則，所以在上單調遞增，又，從而當且僅當時，①成立，這與矛盾.

所以， ，直線都不是曲線的切線；

（Ⅱ）即，令， ，

則，使成立，

，

（1）當時， ， 在上為減函數，于是 ，

由得，滿足，所以符合題意；

（2）當時，由及的單調性知 在上為增函數，所以，即，

①若，即，則，所以在上為增函數，于是

，不合題意；

②若，即則由， 及的單調性知存在唯一，使，且當時， ， 為減函數；當時， ， 為增函數；

所以 ，由得 ，這與矛盾，不合題意.

綜上可知， 的取值范圍是.