Question

【題目】已知三棱錐中，頂點在底面的射影為.給出下列命題：

①若、、兩兩互相垂直，則為的垂心；

②若、、兩兩互相垂直，則有可能為鈍角三角形；

③若，且與重合，則三棱錐的各個面都是直角三角形；

④若，且為邊的中點，則.

其中正確命題的序號是__________．（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】分析：利用線面垂直的判定與性質定理逐一判斷即可.

詳解：

若PA，PB，PC兩兩互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，①正確；

若、、兩兩互相垂直，P在底面是射影H在△ABC的內部，是三角形ABC的垂心，所以不可能是鈍角三角形，②不正確；

若與重合則PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，

又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，

故四個面都是直角三角形，③正確；

當PH⊥平面ABC時，PA2=PH2+HA2，

PB2=PH2+BH2，PC2=PH2+CH2，

因為H是Rt△ABC斜邊AB的中點，所以BH=AH=CH，

故PA=PB=PC，故④正確；