Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅．若存在兩項a_m，a_n使得

aman

=4a₁，則

1

m

+

9

n

的最小值為（　�。�

• A、

  8

  3

• B、

  11

  4

• C、

  17

  6

• D、

  14

  5

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：根據(jù)a₇=a₆+2a₅，求出公比的值，利用存在兩項a_m，a_n使得

aman

=4a1，寫出m，n之間的關系，結(jié)合基本不等式得到最小值．

解答： 解：設等比數(shù)列的公比為q（q＞0），則
∵a₇=a₆+2a₅，
∴a₅q²=a₅q+2a₅，
∴q²-q-2=0，
∴q=2，
∵存在兩項a_m，a_n使得

aman

=4a1，
∴a_ma_n=16a₁²，
∴a₁q^m+n-2=16a₁，
∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=16，
∴m+n=6
∴

1

m

+

9

n

=

1

6

•（

1

m

+

9

n

）（m+n）=

1

6

(

n

m

+

9m

n

+10)≥

1

6

(2

n m • 9m n

+10)=

1

6

(6+10)=

8

3

上式等號成立時，n²=9m²，即n=3m，而m+n=6，∴m=

3

2

，不成立，
∴m=1、n=5時，∴

1

m

+

9

n

=

14

5

；
∴m=2、n=4時，∴

1

m

+

9

n

=

11

4

；
∴最小值為

11

4

故選B．

點評：本題考查等比數(shù)列的通項和基本不等式，實際上應用基本不等式是本題的重點和難點，關鍵注意當兩個數(shù)字的和是定值，要求兩個變量的倒數(shù)之和的最小值時，要乘以兩個數(shù)字之和．