Question

17．“$a=\frac{1}{2}$”是函數(shù)“y=cos²2ax-sin²2ax的最小正周期為π”的（　　）

• A． 充分而不必要條件
• B． 必要而不充分條件
• C． 充分必要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 先證充分性：把a(bǔ)=$\frac{1}{2}$代入函數(shù)解析式，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期為π，成立；再研究必要性，把函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，由周期為ω求出ω的值為$\frac{1}{2}$或-$\frac{1}{2}$，故必要性不一定成立，從而得到前者是后者的充分不必要條件．

解答 解：函數(shù)y=cos²2ax-sin²2ax
=cos4ax，
∵ω=|4a|，
∴T=$\frac{2π}{|4a|}$=π，即a=±$\frac{1}{2}$，故不必要；
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，y=cos²x-sin²x=cos2x，
∵ω=2，
∴T=π，故充分，
則“a=$\frac{1}{2}$”是“函數(shù)y=cos²2ax-sin²2ax的最小正周期為π”的充分不必要條件．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，用到的知識(shí)有二倍角的余弦函數(shù)公式，函數(shù)的周期公式，以及必要條件、充分條件與充要條件的判斷，把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的三角函數(shù)是求函數(shù)周期的關(guān)鍵．