Question

12．設(shè)x∈（0，π），若$\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}=2\sqrt{2}$，則$sin（2x+\frac{π}{3}）$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出x的值，再代人$sin（2x+\frac{π}{3}）$中，即可求出結(jié)果．

解答 解：∵x∈（0，π），且$\frac{1}{sinx}+\frac{1}{cosx}=2\sqrt{2}$，
∴$\frac{sinx+cosx}{sinxcosx}$=2$\sqrt{2}$，
即sinx+cosx=2$\sqrt{2}$sinxcosx，
兩邊平方得1+2sinxcosx=8sin²xcos²x，
即1+sin2x=2sin²2x，
解得sin2x=1或sin2x=-$\frac{1}{2}$（不合題意，舍去）；
當(dāng)sin2x=1時(shí)，2x=$\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{π}{4}$，
∴$sin（2x+\frac{π}{3}）$=sin（$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{3}$）=cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．