Question

2．已知a＞0，b＞0且a+b=1，則3^a+3^b整數(shù)部分為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由a＞0，b＞0，a+b=1，將3^a+3^b轉化為${3}^{a}+\frac{3}{{3}^{a}}$，根據(jù)a∈（0，1）可求得${3}^{a}+\frac{3}{{3}^{a}}$的取值范圍，從而可求得M的整數(shù)部分．

解答 解：∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴b=1-a，
∴3^a+3^b=${3}^{a}+\frac{3}{{3}^{a}}$，a∈（0，1）
令t=3^a，a∈（0，1），則t∈（1，3），
t+$\frac{3}{t}$在（1，$\sqrt{3}$]上單調(diào)遞減，在[$\sqrt{3}$，2）上單調(diào)遞增，
∴（$t+\frac{3}{t}$）_min=$\sqrt{3}+\frac{3}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$，
當t=1或t=3時，$t+\frac{3}{t}=4$，
∴2$\sqrt{3}≤t+\frac{3}{t}＜4$，
∴3^a+3^b整數(shù)部分為3，
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查數(shù)學轉化思想方法，訓練了“對勾”函數(shù)的性質(zhì)的掌握與應用，屬于中檔題．