Question

16．若函數(shù)f（x）=a^x（a＞0且a≠1）在[-2，1]上的最大值為4，最小值為b，且函數(shù)g（x）=（2-7b）x是減函數(shù)，則a+b=1．

Answer 1

分析 根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)求其在[-2，1]的最值關(guān)系，再由g（x）=（2-7b）x是減函數(shù)，2-7b＜0，求出a、b的值即可．

解答 解：由題意，函數(shù)g（x）=（2-7b）x是減函數(shù)；
∴2-7b＜0，
解得b＞$\frac{2}{7}$；
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知：
當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x在[-2，1]上是在增函數(shù)，
則有a^-2=b，a=4，
解得：b=$\frac{1}{16}$，不滿足題意，故a≠4；
當(dāng)1＞a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）=a^x在[-2，1]上是減函數(shù)，
則有a^-2=4，a=b，
解得：a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，滿足題意，
故a+b=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，對(duì)底數(shù)的討論和求最值的問(wèn)題，是綜合性題目．