Question

5．已知在實(shí)數(shù)集R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），滿足f（x+1）是奇函數(shù)，且當(dāng)x≥1時(shí)，$\frac{1}{f′（x）}$＞1（其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則不等式f（x）＞x-1的解集是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （-∞，1）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 確定f（1）=0，令g（x）=f（x）-x，則g′（x）=f′（x）-1＜0，函數(shù)在R上單調(diào)遞減，即可求出不等式f（x）＞x-1的解集．

解答 解：∵f（x+1）是奇函數(shù)，
∴f（x）關(guān)于（1，0）對(duì)稱，f（1）=0，
∵當(dāng)x≥1時(shí)，$\frac{1}{f′（x）}$＞1，
∴0＜f′（x）＜1．
令g（x）=f（x）-x，
則g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴（1，+∞）上單調(diào)遞減，
結(jié)合對(duì)稱性可得：函數(shù)在R上單調(diào)遞減，
∵g（1）=f（1）-1=-1，
∴不等式f（x）＞x-1可化為g（x）＞g（1），
∴x＜1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生解不等式的能力，屬于中檔題．