Question

若函數(shù)f（x）滿足：①在定義域D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇-b，-a]，那么y=f（x）叫做對(duì)稱函數(shù)．現(xiàn)有f（x）=

1-x

-k是對(duì)稱函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)于f（x）=

1-x

-k是在（-∞，1]上是減函數(shù)，由②可得 f（a）=-a，f（b）=-b，a和 b 是關(guān)于x的方程

1-x

-k=-x在（-∞，1]上有兩個(gè)不同實(shí)根．利用換元法，轉(zhuǎn)化為k=-t²+t+2=-（t-

1

2

）²+

5

4

在[0，+∞）有兩個(gè)不同實(shí)根，解此不等式求得 k 的范圍即為所求．

解答： 解：由于f（x）=

1-x

-k是在（-∞，1]上是減函數(shù)，故滿足①，
又f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇-b，-a]，
∴

1-a -k=-a 1-b -k=-b

∴a和 b 是關(guān)于x的方程

1-x

-k=-x在（-∞，1]上有兩個(gè)不同實(shí)根．
令t=

1-x

，則x=1-t²，t≥0，
∴k=1-t²+t=-（t-

1

2

）²+

5

4

，
∴k的取值范圍是[1，

5

4

）
故答案為[1，

5

4

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，得到a和 b 是

1-x

-k=-x在（-∞，1]上有兩個(gè)不同實(shí)根，是解題的難點(diǎn)，屬中檔題．