Question

【題目】設 個正數(shù) 滿足 （ 且 ）．
（1）當 時，證明： ；
（2）當 時，不等式 也成立，請你將其推廣到 （ 且 ）個正數(shù) 的情形，歸納出一般性的結論并用數(shù)學歸納法證明．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：因為 （ 且 ）均為正實數(shù)，

左—右=

=0，

所以，原不等式 成立

（2）

歸納的不等式為：

（ 且 ）．

記 ，

當 （ ）時，由（1）知，不等式成立；

假設當 （ 且 ）時，不等式成立，即

．

則當 時，

=

=

= ，

因為 ， ， ，

所以 ，

所以當 ，不等式成立．

綜上所述，不等式 （ 且 ）成立．

【解析】本題主要考查了數(shù)學歸納法證明不等式，解決問題的關鍵是根據(jù)（1）由于 與 積為 ，所以利用基本不等式進行證明： ， ， ，三式相加得 ，即 （2）本題結構對稱，易于歸納出 ，用數(shù)學歸納法證明時的難點在于明確 時式子與 式子關系：其差為 ，問題轉化為證明 ，這可利用作差，因式分解得證.