Question

17．求正整數(shù)n與實(shí)數(shù)a，使得f（x）=asinx+cos2x在（0，nπ）上恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析 運(yùn)用二倍角的余弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，由y=sinx在（0，nπ）的圖象特點(diǎn)可得若h（t）=0的兩根均小于1，則零點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)個(gè)，由題意可得兩根中必有一個(gè)為1或-1，分別討論兩根的情況，即可得到a和n，滿足條件．

解答 解：f（x）=asinx+cos2x=asinx+1-2sin²x，
令sinx=t，h（t）=at+1-2t²，
由y=sinx在（0，nπ）的圖象特點(diǎn)可得若h（t）=0的兩根均小于1，
則零點(diǎn)個(gè)數(shù)必為偶數(shù)個(gè)，則有兩根中必有一個(gè)為1或-1，
若有一個(gè)根為1，則a=1，另一個(gè)根為-$\frac{1}{2}$，由于一個(gè)周期內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，
則n=2×671=1342，恰有2013個(gè)零點(diǎn)；
若有一個(gè)根為-1，則a=-1，另一個(gè)根為$\frac{1}{2}$，由于一個(gè)周期內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，
則k=2×671=1342，恰有2014個(gè)零點(diǎn)．
綜上可得，實(shí)數(shù)a=1，正整數(shù)n=1342，使得f（x）在（0，nπ）內(nèi)恰有2013個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握公式和正弦函數(shù)的圖象是解本題的關(guān)鍵．