Question

12．在平面直角坐標系xOy中，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{6}cosα}\\{y=\sqrt{2}sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立坐標系，直線l的極坐標方程為ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+4=0，求曲線C上的點到直線l的最大距離．

Answer 1

分析 由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直線的普通方程，由點到直線的距離公式可得曲線C上的點到直線的距離，運用兩角和的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到所求最大距離．

解答 解：由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得：
直線l的極坐標方程：ρ（cosθ+$\sqrt{3}$sinθ）+4=0，
即為x+$\sqrt{3}$y+4=0，
曲線C上的點到直線l的距離為d=$\frac{|\sqrt{6}cosα+\sqrt{6}sinα+4|}{\sqrt{1+3}}$
=$\frac{4+2\sqrt{3}sin（α+\frac{π}{4}）}{2}$=2+$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{4}$）．
當α+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即α=2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，取得最大值2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標的互化，點到直線的距離公式和正弦函數(shù)的值域的運用，考查運算能力，屬于中檔題．