Question

14．已知函數(shù)f（x）=2acos²x+bsinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求最小正實(shí)數(shù)m，使函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度所對(duì)應(yīng)的函數(shù)是奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，求得a，b，然后利用三角形的二倍角公式及和角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），最后利用三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期；
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得y=sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$）為奇函數(shù)，可得2m+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，由此求得m的最小值．

解答 解：（1）由 f （0）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，得b=1，
∴f （x）=$\sqrt{3}$cos²x+sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x
=sin（2x+$\frac{π}{3}$）
故最小正周期T=π．
（2）∵使函數(shù)f（x）的圖象向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=sin[2（x+m）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$），
∴根據(jù)y=sin（2x+2m+$\frac{π}{3}$）為奇函數(shù)，
可得2m+$\frac{π}{3}$=kπ，k∈z，
故m的最小值為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題，一般先將三角函數(shù)化為只含一個(gè)角一個(gè)函數(shù)的形式，然后利用整體角處理的方法來(lái)解決，屬于中檔題．