Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（2a，0）（a＞0），直線l₁：mx-y-2m+2=0與直線l₂：x+my=0（m∈R）相交于點(diǎn)M，且MA²+MO²=2a²+16，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2，1+$\sqrt{17}$]．

Answer 1

分析 兩直線方程聯(lián)立，消去m，可得M的軌跡方程，再設(shè)M（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，可得M的又一軌跡方程，由兩圓有公共點(diǎn)，可得a的不等式，解不等式即可得到a的范圍．

解答 解：由題意，$\left\{\begin{array}{l}{mx-y-2m+2=0}\\{x+my=0}\end{array}\right.$，
將m=-$\frac{x}{y}$代入l₁：mx-y-2m+2=0，化簡(jiǎn)可得x²+y²-2x-2y=0，
即有M在以圓心C₁（1，1），半徑為$\sqrt{2}$的圓上，
又點(diǎn)A（2a，0）（a＞0），設(shè)M（x，y），
MA²+MO²=2a²+16，可得（x-2a）²+y²+x²+y²=2a²+16，
即有x²+y²-2ax+a²-8=0，
可得M在以圓心C₂（a，0），半徑為2$\sqrt{2}$的圓上，
由兩圓相交可得$\sqrt{2}$≤|C₁C₂|≤3$\sqrt{2}$，
即為$\sqrt{2}$≤$\sqrt{（a-1）^{2}+1}$≤3$\sqrt{2}$，
解得2≤a≤1+$\sqrt{17}$．
故答案為：[2，1+$\sqrt{17}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩直線的交點(diǎn)軌跡，以及轉(zhuǎn)化思想，兩圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于難題．