Question

1．如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為正方形，且B₁C₁=$\sqrt{2}$，BB₁=BC₁=BD₁=$\sqrt{5}$．
（1）求證：平面B₁BD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）已知E為棱DD₁的中點，線段C₁E與線段CD₁的交于點F，求直線A₁F與平面BB₁D₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連接A₁C₁，則A₁C₁∩B₁D₁=O，連接BO，證明BO⊥平面A₁B₁C₁D₁，即可證明平面B₁BD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系，則平面BB₁D₁的法向量為（1，0，0），求出$\overrightarrow{{A}_{1}F}$，即可求直線A₁F與平面BB₁D₁所成角的正弦值．

解答 （1）證明：連接A₁C₁，則A₁C₁∩B₁D₁=O，連接BO，
∵BB₁=BC₁=BD₁=$\sqrt{5}$．
∴BO⊥B₁D₁，BO⊥A₁C₁，
∵A₁C₁∩B₁D₁=O，
∴BO⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∵BO?平面B₁BD₁，
∴平面B₁BD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）解：由題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則平面BB₁D₁的法向量為（1，0，0），A₁（-1，0，0），
∵E（0，$\frac{3}{2}$，1），C₁（-1，0，0），C₁F=$\frac{2}{3}$C₁E，
∴F（-$\frac{1}{3}$，1，$\frac{2}{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=（$\frac{2}{3}$，1，$\frac{2}{3}$），
∴直線A₁F與平面BB₁D₁所成角的正弦值為|$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{4}{9}+1+\frac{4}{9}}}$|=$\frac{2\sqrt{17}}{17}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查向量方法的運(yùn)用，屬于中檔題．