Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）當時，求的單調(diào)增區(qū)間；

（2）若恰有三個不同的零點（）．

①求實數(shù)的取值范圍；

②求證：．

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）直接利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間. （2）①關于的方程在上有三個不同的解．即關于的方程在上有三個不同的解．令，,再利用導數(shù)研究函數(shù)F(x)的圖像和值域，即得a的取值范圍. ②當時，．令，則，即，分析得到，，代入化簡即證.

（1）當時，，定義域為．

．

所以，在上單調(diào)遞增；

即的單調(diào)增區(qū)間為.

（2）①由題意可得，關于的方程在上有三個不同的解．

即關于的方程在上有三個不同的解．

令，．

所以．

顯然，當時，，證明如下：

令，．

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以當時，取最小值．

所以，當時，．

令，可得或．

將x,h1(x),h(x)變化情況列表如下

		極小值		極大值

又當

所以，實數(shù)的取值范圍為．

②由①可知，當時，．

令，則，

即，，．

不妨設，則．

又，，

當時，，在上單調(diào)遞增；

當時，，在上單調(diào)遞減．

顯然，當時，；當時，．

所以，．

所以

．

即．