Question

18．如圖所示的四面體OABC中，OA=OB=OC=a，∠AOB=90°，∠BOC=∠AOC=60°，點(diǎn)M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，點(diǎn)S是MN上靠近點(diǎn)N的三等分點(diǎn)．
（1）試用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OS}$；
（2）求異面直線CM和BN所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{NM}$，利用向量加法法則和四面體的性質(zhì)能用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{OS}$．
（2）先求出$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，由此利用向量法能求出異面直線CM和BN所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵四面體OABC中，OA=OB=OC=a，∠AOB=90°，∠BOC=∠AOC=60°，
點(diǎn)M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，點(diǎn)S是MN上靠近點(diǎn)N的三等分點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NS}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{NM}$
$\begin{array}{l}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{ON}）\\=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{3}（\frac{1}{2}（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）-\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}）\end{array}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$．
（2）$\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$，
$|\overrightarrow{CM}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}|=\sqrt{{{（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）}^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，
$|\overrightarrow{BN}|=|\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}|=\sqrt{{{（\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a$，
$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BN}$=$（\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}）•（\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}）=-\frac{1}{4}{a^2}$，
∴$cos＜\overrightarrow{CM}，\overrightarrow{BN}＞=\frac{{\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{BN}}}{{|\overrightarrow{CM}|•|\overrightarrow{BN}|}}=\frac{{-\frac{1}{4}{a^2}}}{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}a×\frac{{\sqrt{2}}}{2}a}}=-\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，
∵異面直線CM和BN所成角的范圍為$（0，\frac{π}{2}]$，
∴異面直線CM和BN所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查向量的表示，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．