Question

20．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）經過點A（2，3），離心率$e=\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若∠F₁AF₂的角平分線所在的直線l與橢圓E的另一個交點為B，C為橢圓E上的一點，當△ABC的面積最大時，求C點的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程組，求出a，b即可得到橢圓方程．
（2）求出焦點坐標，得到直線AF₁的方程，直線AF₂的方程，設P（x，y）為直線l上任意一點，利用$\frac{|3x-4y+6|}{{\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}}}=|x-2|$，求出直線l的方程為2x-y-1=0．設過C點且平行于l的直線為2x-y+m=0，聯立直線與橢圓方程的方程組，求出m然后求解C點的坐標．

解答 解：（1）由橢圓E經過點A（2，3），離心率$e=\frac{1}{2}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1\\ \frac{{{a^2}-{b^2}}}{a^2}=\frac{1}{4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=16\\{b^2}=12\end{array}\right.$
∴橢圓E的方程為$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$．
（2）由（1）可知F₁（-2，0），F₂（2，0），
則直線AF₁的方程為$y=\frac{3}{4}（x+2）$，即3x-4y+6=0，
直線AF₂的方程為x=2，
由點A在橢圓E上的位置易知直線l的斜率為正數．
設P（x，y）為直線l上任意一點，
則$\frac{|3x-4y+6|}{{\sqrt{{3^2}+{{（-4）}^2}}}}=|x-2|$，解得2x-y-1=0或x+2y-8=0（斜率為負數，舍去）．
∴直線l的方程為2x-y-1=0．
設過C點且平行于l的直線為2x-y+m=0，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1\\ 2x-y+m=0\end{array}\right.$整理得19x²+16mx+4（m²-12）=0，
由△=（16m）²-4×19×4（m²-12）=0，解得m²=76，
因為m為直線2x-y+m=0在y軸上的截距，
依題意，m＞0，故$m=2\sqrt{19}$．解得x=$-\frac{16\sqrt{19}}{19}$，y=$\frac{6\sqrt{19}}{19}$．
∴C點的坐標為$（-\frac{{16\sqrt{19}}}{19}，\frac{{6\sqrt{19}}}{19}）$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，橢圓方程的求法，考查轉化思想以及計算能力．