Question

9．定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)記為f'（x），滿(mǎn)足f（x）+f（2-x）=（x-1）²，且當(dāng)x≤1時(shí)，恒有f'（x）+2＜x．若$f（m）-f（{1-m}）≥\frac{3}{2}-3m$，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，1]
• B． $（{-\frac{1}{3}，1}]$
• C． [1，+∞）
• D． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）+2x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，求得g（x）+g（2-x）=3，則g（x）關(guān)于（1，3）中心對(duì)稱(chēng)，則g（x）在R上為減函數(shù)，再由導(dǎo)數(shù)可知g（x）在R上為減函數(shù)，化$f（m）-f（{1-m}）≥\frac{3}{2}-3m$為g（m）≥g（1-m），利用單調(diào)性求解．

解答 解：令g（x）=f（x）+2x-$\frac{1}{2}{x}^{2}$，
g′（x）=f′（x）+2-x，當(dāng)x≤1時(shí)，恒有f'（x）+2＜x．
∴當(dāng)x≤1時(shí)，g（x）為減函數(shù)，
而g（2-x）=f（2-x）+2（2-x）-$\frac{1}{2}（2-x）^{2}$，
∴f（x）+f（2-x）=g（x）-2x+$\frac{1}{2}{x}^{2}$+g（2-x）-2（2-x）+$\frac{1}{2}（2-x）^{2}$
=g（x）+g（2-x）+x²-2x-2=x²-2x+1．
∴g（x）+g（2-x）=3．
則g（x）關(guān)于（1，$\frac{3}{2}$）中心對(duì)稱(chēng)，則g（x）在R上為減函數(shù)，
由$f（m）-f（{1-m}）≥\frac{3}{2}-3m$，得f（m）+2m$-\frac{1}{2}{m}^{2}$≥f（1-m）+2（1-m）-$\frac{1}{2}（1-m）^{2}$，
即g（m）≥g（1-m），
∴m≤1-m，即m$≤\frac{1}{2}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)是解答該題的關(guān)鍵，是壓軸題．