Question

12．圓的某些性質(zhì)可以類比到橢圓和雙曲線中，已知命題“直線l與圓x²+y²=r²交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M，若直線AB和OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率均存在，則k_ABk_OM=-1”，類比到橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）中，有命題“直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為M，若直線AB和OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率均存在，則k_ABk_OM=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$”

Answer 1

分析 根據(jù)題意，設(shè)直線l與橢圓的兩個交點(diǎn)分別為A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），AB的中點(diǎn)為M，
代入橢圓方程，利用作差法求出斜率之積k_ABk_OM的值．

解答 解：在圓x²+y²=r²中，AB⊥OM，則k_ABk_OM=-1；
在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）中，
設(shè)直線l與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的兩個交點(diǎn)分別為A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂），AB的中點(diǎn)為M，
則b²${{x}_{1}}^{2}$+a²${{y}_{1}}^{2}$=a²b²①，b²${{x}_{2}}^{2}$+a²${{y}_{2}}^{2}$=a²b²②，
①-②得，b²（${{x}_{1}}^{2}$-${{x}_{2}}^{2}$）+a²（${{y}_{1}}^{2}$-${{y}_{2}}^{2}$）=0，
∴b²（x₁+x₂）（x₁-x₂）+a²（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
即k_ABk_OM=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．
故答案為：-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查了類比推理的問題，也考查了直線與圓，直線與橢圓的應(yīng)用問題，是中檔題．