Question

20．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x
（1）求f（x）的對(duì)稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{3}$]時(shí)，關(guān)于x的方程f（$\frac{3}{2}$x）=m恰有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式，誘導(dǎo)公式和輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解f（x）的對(duì)稱軸方程和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求出f（$\frac{3}{2}$x）解析式，由x∈[0，$\frac{π}{3}$]上，求解內(nèi)層函數(shù)的范圍，數(shù)形結(jié)合，方程f（$\frac{3}{2}$x）=m恰有兩個(gè)不同的解，即兩個(gè)函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)．

解答 解：函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x，
化簡(jiǎn)可得：f（x）=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）$-\sqrt{3}$cos2x=1+sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
對(duì)稱軸方程：2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}+kπ$，
∴x=$\frac{5π}{12}+\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
∴f（x）的對(duì)稱軸方程為x=$\frac{5π}{12}+\frac{1}{2}kπ$，k∈Z．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{12}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{12}$，
∴f（x）單調(diào)增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{12}$，$kπ+\frac{5π}{12}$]，k∈Z．
（2）由（1）可知f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
則f（$\frac{3}{2}$x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1，
∵x∈[0，$\frac{π}{3}$]上，
∴3x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
由圖知，若u=sint在[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]上有兩個(gè)不同的解，則u∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴方程則f（$\frac{3}{2}$x）=2sin（3x-$\frac{π}{3}$）+1=2u+1=m在[0，$\frac{π}{3}$]時(shí)恰好有兩個(gè)不同的解，則m∈[$\sqrt{3}+1，3$）即實(shí)數(shù)m的取值范圍是[$\sqrt{3}+1，3$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．