Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n（n∈N^*），a₁=1且S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n=0．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求$\frac{1}{{S}_{1}{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{3}{S}_{4}}$-$\frac{1}{{S}_{4}{S}_{5}}$+…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{{s}_{n{S}_{n+1}}}$．

Answer 1

分析 （1）a₁=1且S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n=0．當n≥2時，S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$（S_n-S_n-1）=0．變形為$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）對n分類討論，利用“分組求和”與等差數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）a₁=1且S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$a_n=0．
∴當n≥2時，S_n•S_n-1+$\frac{1}{2}$（S_n-S_n-1）=0．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為2．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
∴n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n-3}，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）$\frac{1}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=（2n-1）（2n+1）=4n²-1．
當n=2k（k∈N^*）時，$\frac{1}{{S}_{1}{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{3}{S}_{4}}$-$\frac{1}{{S}_{4}{S}_{5}}$+…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{{s}_{n{S}_{n+1}}}$
=4[1²-2²+3²-4²+…+（n-1）²-n²]-n
=-4（1+2+3+4+…+n）-n
=$-\frac{4n（n+1）}{2}$-n=-2n²-3n．
當n=2k-1（k∈N^*）時，$\frac{1}{{S}_{1}{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{3}{S}_{4}}$-$\frac{1}{{S}_{4}{S}_{5}}$+…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{{s}_{n{S}_{n+1}}}$
=4[1²-2²+3²-4²+…-（n-1）²+n²]-n
=4[1-（2+3+4+…+n）]-n
=8$-\frac{4n（n+1）}{2}$-n=8-2n²-3n．
∴$\frac{1}{{S}_{1}{S}_{2}}$-$\frac{1}{{S}_{2}{S}_{3}}$+$\frac{1}{{S}_{3}{S}_{4}}$-$\frac{1}{{S}_{4}{S}_{5}}$+…+（-1）ⁿ⁺¹$\frac{1}{{s}_{n{S}_{n+1}}}$=$\left\{\begin{array}{l}{-2{n}^{2}-3n，n為偶數(shù)}\\{8-2{n}^{2}-3n，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、分類討論方法、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．