Question

17．已知奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，且f（-2）=-1，f（1）=0，當(dāng)x₁＞0，x₂＞0有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），求不等式log₂|f（x）+1|＜0的解集．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系以及抽象函數(shù)關(guān)系，利用特殊值法進(jìn)行求解即可．

解答 解：不等式log₂|f（x）+1|＜0等價為0＜|f（x）+1|＜1，
即0＜f（x）+1＜1或-1＜f（x）+1＜0，
即-1＜f（x）＜0或-2＜f（x）＜-1，
∵f（x）是奇函數(shù)，且且f（-2）=-1，f（1）=0，
∴f（2）=1，
∵當(dāng)x₁＞0，x₂＞0有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴函數(shù)f（x）為對數(shù)函數(shù)模型，
即當(dāng)x＞0時，設(shè)f（x）=log_ax，
∵奇函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
則a＞1，
∵f（2）=1，∴f（2）=log_a2=1，則a=2，
即當(dāng)x＞0時，f（x）=log₂x，
若x＜0，則-x＞0，則f（-x）=log₂（-x）=-f（x），
即f（x）=-log₂（-x），x＜0，
則函數(shù)f（x）的圖象如圖：
若x＞0，由-1＜f（x）＜0或-2＜f（x）＜-1得-1＜log₂x＜0或-2＜log₂x＜-1，
即$\frac{1}{2}$＜x＜1或$\frac{1}{4}$＜log₂x＜$\frac{1}{2}$，
若x＜0，由-1＜f（x）＜0或-2＜f（x）＜-1得-1＜-log₂（-x）＜0或-2＜-log₂（-x）＜-1，
即0＜log₂（-x）＜1或1＜log₂（-x）＜2，
即1＜-x＜2或2＜-x＜4，
即-2＜x＜-1或-4＜x＜-2，
綜上不等式的解集為（-4，-2）∪（-2，-1）∪（$\frac{1}{2}$，1）∪（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為對數(shù)函數(shù)模型是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系結(jié)合數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解是解決本題的突破點(diǎn)．