Question

2．設函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-bx（a≠1），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為0
（ I）求b；
（II）若存在x₀≥1，使得f（x₀）＜$\frac{a}{1-a}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（1），求出b的值即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關于a的不等式，解出即可．

解答 解：（ I）f'（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-b，
由題設知 f'（1）=0，解得b=1．…（2分）
（Ⅱ） f （x）的定義域為（0，+∞），
由（Ⅰ）知，f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}{x^2}$-x，
f'（x）=$\frac{a}{x}+（1-a）x-1=\frac{1-a}{x}（{x-\frac{a}{1-a}}）（{x-1}）$…（4分）
（i）若a≤$\frac{1}{2}$，則$\frac{a}{1-a}$≤1，
故當x∈[1，+∞）時，f'（x）≥0，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
所以，存在x₀≥1，使得f（1）＜$\frac{a}{a-1}$，…（6分）
即$\frac{1-a}{2}-1＜\frac{a}{a-1}$，所以-$\sqrt{2}-1＜a＜\sqrt{2}$-1，
滿足a≤$\frac{1}{2}$，所以-$\sqrt{2}-1＜a＜\sqrt{2}$-1符合題意…（8分）
（ii）若$\frac{1}{2}$＜a＜1，則$\frac{a}{1-a}$＞1，故當x∈（1，$\frac{a}{1-a}$）時，f'（x）＜0，
x∈（$\frac{a}{1-a}$，+∞）時，f'（x）＞0，
f（x）在（1，$\frac{a}{1-a}$）上單調(diào)遞減，f （x）在（$\frac{a}{1-a}$，+∞）單調(diào)遞增．…（10分）
所以，存在x₀≥1，使得 f（x₀）＜$\frac{a}{a-1}$的充要條件為$f（{\frac{a}{1-a}}）＜\frac{a}{a-1}$，
而$f（\frac{a}{1-a}）=aln\frac{a}{1-a}+\frac{a^2}{{2（{1-a}）}}+\frac{a}{1-a}＞\frac{a}{1-a}$，所以不合題意．…（12分）
（ⅲ） 若a＞1，則f（1）=$\frac{1-a}{2}-1=\frac{-1-a}{2}＜\frac{a}{a-1}$．所以a＞1符合題意．…（13分）
綜上，a的取值范圍為：$（{-\sqrt{2}-1，\sqrt{2}-1}）∪（{1，+∞}）$…（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．