Question

18．在等差數(shù)列{a_n}中，前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）之和為98，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為56，且a_m-a₁=48．
（1）求等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求得數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)的和，由奇數(shù)項(xiàng)和減去偶數(shù)項(xiàng)和求得中間項(xiàng)，再由前m項(xiàng)和求出m，結(jié)合a_m-a₁=48求得公差，代入前m項(xiàng)和求得首項(xiàng)，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）由$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}=\frac{1}{（8m-26）（8m-18）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{8m-26}-\frac{1}{8m-18}）$，利用裂項(xiàng)相消法求得$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}$的值．

解答 解：（1）∵等差數(shù)列{a_n}的前m項(xiàng)（m為奇數(shù)）之和為98，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為56，
∴其中偶數(shù)項(xiàng)的和為98-56=42，
∴中間項(xiàng)為56-42=14，
則14m=98，得m=7，
又a_m-a₁=48，
∴a₇-a₁=6d=48，則d=8，
代入$7{a}_{1}+\frac{7×6×8}{2}=98$，得a₁=-10．
∴a_n=-10+8（n-1）=8n-18；
（2）∵$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}=\frac{1}{（8m-26）（8m-18）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{8m-26}-\frac{1}{8m-18}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{-18}-\frac{1}{-10}+\frac{1}{-10}-\frac{1}{-2}+…+\frac{1}{8m-26}-\frac{1}{8m-18}）$
=$\frac{1}{8}（-\frac{1}{18}-\frac{1}{8m-18}）=\frac{m}{36（9-4m）}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．