Question

18．在等差數列{a_n}中，前m項（m為奇數）之和為98，其中奇數項之和為56，且a_m-a₁=48．
（1）求等差數列{a_n}的通項公式；
（2）求$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由已知求得數列的偶數項的和，由奇數項和減去偶數項和求得中間項，再由前m項和求出m，結合a_m-a₁=48求得公差，代入前m項和求得首項，則等差數列的通項公式可求；
（2）由$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}=\frac{1}{（8m-26）（8m-18）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{8m-26}-\frac{1}{8m-18}）$，利用裂項相消法求得$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}$的值．

解答 解：（1）∵等差數列{a_n}的前m項（m為奇數）之和為98，其中奇數項之和為56，
∴其中偶數項的和為98-56=42，
∴中間項為56-42=14，
則14m=98，得m=7，
又a_m-a₁=48，
∴a₇-a₁=6d=48，則d=8，
代入$7{a}_{1}+\frac{7×6×8}{2}=98$，得a₁=-10．
∴a_n=-10+8（n-1）=8n-18；
（2）∵$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}=\frac{1}{（8m-26）（8m-18）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{8m-26}-\frac{1}{8m-18}）$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…$\frac{1}{{a}_{m-1}{a}_{m}}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{-18}-\frac{1}{-10}+\frac{1}{-10}-\frac{1}{-2}+…+\frac{1}{8m-26}-\frac{1}{8m-18}）$
=$\frac{1}{8}（-\frac{1}{18}-\frac{1}{8m-18}）=\frac{m}{36（9-4m）}$．

點評 本題考查等差數列的通項公式，考查了等差數列的性質，訓練了裂項相消法求數列的前n項和，是中檔題．