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已知函數在上是增函數,
（1）求實數的取值集合；
（2）當取值集合中的最小值時，定義數列；滿足且，，求數列的通項公式；
（3）若，數列的前項和為，求證：.

（1）；（2）；（3）詳見解析

解析試題分析：（1）函數在區(qū)間是增函數，說明恒成立，再參變分離確定的取值集合；
（2）由（1）知，表示，代入中，得關于和的遞推式，再根據遞推公式求通項公式，常見的根據遞推公式求通項公式的方法有：①，用累積法；②，用累加法；③(p,q是常數)，用構造法；④（p,q,m是常數），用兩邊取倒數，再用構造法，該題，用③求；（3）首先求數列的通項公式，再根據通項公式的具體形式，選擇合適的求和方法，常見的求和方法有①直接法，直接利用等比數列或等差數列前n項和公式；②裂項相消法，在求和的過程中互相抵消的辦法；③錯位相減法，適合于通項公式是等差數列乘以等比數列的類型；④分組求和法，分組分別求和再相加的辦法；⑤奇偶并項求和法，研究奇數項和偶數項的特點來求和的辦法，該題，利用③④結合起來求和,再證明不等式成立.
試題解析：(1) 因為函數在上是增函數,只需在滿足恒成立,即，所以；
（2）由（1）知，因為，∴，且，所以，∴，∴是以2為首項，3為公比的等比數列，故，；
（3）由（2）知，令，
，兩式相減得，故.
考點：1、導數在單調性上的應用；2、數列的遞推公式；3、數列的前n項和.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數
（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）求函數的極值；
（Ⅲ）對恒成立，求實數的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

某出版社新出版一本高考復習用書，該書的成本為5元/本，經銷過程中每本書需付給代理商m元（1≤m≤3）的勞務費，經出版社研究決定，新書投放市場后定價為元/本（9≤≤11），預計一年的銷售量為萬本．
(1)求該出版社一年的利潤（萬元）與每本書的定價的函數關系式；
(2)當每本書的定價為多少元時，該出版社一年的利潤最大,并求出的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數.
（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（Ⅱ）當時，若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

(1設
(1)當時，求f(x)的單調區(qū)間；
(2)求f(x)的零點個數

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數，；
(1)當時，求函數的單調區(qū)間；
(2)若函數在[1,2]上是減函數，求實數的取值范圍；
(3)令，是否存在實數，當 (是自然對數的底數)時，函數的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內有極值．
（I）求實數a的取值范圍；
（II）若x1∈（0，），x2∈（2，+∞）且a∈[，2]時，求證：f（x1）﹣f（x2）≥ln2+．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知函數在點處的切線方程為．
⑴求函數的解析式；
⑵若對于區(qū)間上任意兩個自變量的值都有，求實數的最小值；
⑶若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知.
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若在處有極值，求的單調遞增區(qū)間；
（3）是否存在實數，使在區(qū)間的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

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