Question

11．為了加強(qiáng)環(huán)保建設(shè)，提高社會效益和經(jīng)濟(jì)效益，某市計(jì)劃用若干年時(shí)間更換一萬輛燃油型公交車．每更換一輛新車，則淘汰一輛舊車，更換的新車為電力型車和混合動力型車．今年初投入了電力型公交車120輛，混合動力型公交車300輛，計(jì)劃以后電力型車每年的投入量比上一年增加50%，混合動力型車每年比上一年多投入m輛．設(shè)a_n，b_n分別為第n年投入的電力型公交車，混合動力型公交車的數(shù)量，設(shè)S_n，T_n分別為n年里投入的電力型公交車，混合動力型公交車的總數(shù)量．
（1）求S_n，T_n，并求n年里投入的所有新公交車的總數(shù)F_n；
（2）該市計(jì)劃用8年的時(shí)間完成全部更換，求m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為120，公比為$\frac{3}{2}$；數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為300，公差為m．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）F₈=$240[（\frac{3}{2}）^{8}-1]$+300×8+$\frac{8×7}{2}$m≥10000，解出即可．

解答 解：（1）由題意可得：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為120，公比為$\frac{3}{2}$；數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為300，公差為m．
∴S_n=$\frac{120[（\frac{3}{2}）^{n}-1]}{\frac{3}{2}-1}$=$240[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$，T_n=300n+$\frac{n（n-1）}{2}•m$，
∴F_n=S_n+T_n=$240[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$+300n+$\frac{n（n-1）}{2}•m$．
（2）F₈=$240[（\frac{3}{2}）^{8}-1]$+300×8+$\frac{8×7}{2}$m≥10000，
解得m≥59.65，
因此m的最小值為60．
答：（1）S_n=$240[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$，T_n=300n+$\frac{n（n-1）}{2}•m$，F(xiàn)_n=S_n+T_n=$240[（\frac{3}{2}）^{n}-1]$+300n+$\frac{n（n-1）}{2}•m$．
（2）該市計(jì)劃用8年的時(shí)間完成全部更換，m的最小值為60．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．