Question

3．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，點(diǎn)M在AB上，且AM：MB=1：2，E為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：CE∥平面ADP；
（2）求證：平面PAD⊥平面PAB；
（3）棱AP上是否存在一點(diǎn)N，使得平面DMN⊥平面ABCD，若存在，求出$\frac{AN}{NP}$的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）取棱AP中點(diǎn)F，連接DF，EF，證明四邊形EFDC為平行四邊形，可得CE∥DF，即可證明CE∥平面ADP；
（2）證明CE⊥平面PAB，利用CN∥DF，可得DF⊥平面PAB，即可證明平面PAD⊥平面PAB；
（3）存在，$\frac{AN}{NP}=\frac{4}{7}$．取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO交MD于Q，連結(jié)NQ，證明NQ⊥平面ABCD，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：取棱AP中點(diǎn)F，連接DF，EF．
∵EF為△PAB的中位線，∴EF∥AB，且$EF=\frac{1}{2}AB$
∵CD∥AB，且$CD=\frac{1}{2}AB$，∴EF∥CD，且EF=CD，
∴四邊形EFDC為平行四邊形，∴CE∥DF
∵DF?平面ADP，CE?平面ADP，
∴CE∥平面ADP
（2）證明：由（1）可得CE∥DF
∵PC=BC，E為PB的中點(diǎn)，∴CE⊥PB
∵AB⊥BC，平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，AB?平面ABCD
∴AB⊥平面PBC  
又∵CE?平面PBC，
∴AB⊥CE
又∵CE⊥PB，AB∩PB=B，AB，PB?平面PBC，
∴CE⊥平面PAB
∵CN∥DF，
∴DF⊥平面PAB 
又∵DF?平面PAD，
∴平面PAD⊥平面PAB；
（3）解：存在，$\frac{AN}{NP}=\frac{4}{7}$．
證明：取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO交MD于Q，連結(jié)NQ，
在平面ABCD中由平幾得$\frac{AQ}{QO}=\frac{4}{7}$，∴$\frac{AN}{NP}=\frac{AQ}{QO}∴NQ$∥OP．
∵O為等腰△PBC底邊上的中點(diǎn)，∴PO⊥BC，
∵PBC⊥底面ABCD，PO?平面PBC，平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴PO⊥平面ABCD，∴NQ⊥平面ABCD，
∵NQ?平面DMN，∴平面DMN⊥平面ABC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直、線面平行，面面垂直，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．