Question

20．給定圓P：x²+y²=2x及拋物線S：y²=4x，過圓心P作直線l，此直線與上述兩曲線的四個交點，自上而下順次為A，B，C，D；如果線段AB，BC，CD的長度按此順序構成一個等差數列，則直線l的方程為$\sqrt{2}x±y-\sqrt{2}=0$．

Answer 1

分析 先確定圓P的標準方程，求出圓心與直徑長，設出l的方程，代入拋物線方程，求出|AD|，利用線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列，可得|AD|=3|BC|，求出k的值，由此可求直線l的方程．

解答 解：圓P的方程為（x-1）²+y²=1，則其直徑長|BC|=2，圓心為P（1，0），
設l的方程為ky=x-1，即x=ky+1，代入拋物線方程得：y²=4ky+4，
設A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
有y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4，
則（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²+4y₁y₂=16（k²+1）
故|AD|²=（y₁-y₂）²+（x₁-x₂）²=16（k²+1）²，
因此|AD|=4（k²+1）．
因為線段AB、BC、CD的長按此順序構成一個等差數列，
所以|AD|=3|BC|，即4（k²+1）=6
∴k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴l(xiāng)方程$\sqrt{2}x±y-\sqrt{2}=0$．
故答案為：$\sqrt{2}x±y-\sqrt{2}=0$．

點評 本題考查直線與圓、拋物線的位置關系，考查等差數列，考查學生的計算能力，確定|AD|是關鍵．