Question

12．設(shè)實數(shù)x，y滿足x+y-xy≥2，則|x-2y|的最小值為2$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 作出曲線（x-1）（y-1）=-1的圖象，由題意可得|x-2y|即為曲線上任一點到直線x-2y=0的距離的$\sqrt{5}$倍的最小值．
可得與曲線相切，且與直線x-2y=0平行的直線距離的$\sqrt{5}$倍，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，求得切點，代入即可得到所求最小值．

解答 解：實數(shù)x，y滿足x+y-xy≥2，
即為（x-1）（y-1）≤-1，
作出曲線（x-1）（y-1）=-1的圖象，
由題意可得|x-2y|即為
曲線上任一點到直線x-2y=0的距離的$\sqrt{5}$倍的最小值．
可得與曲線相切，且與直線x-2y=0平行的直線距離的$\sqrt{5}$倍．
設(shè)切點為（m，n），由y=1-$\frac{1}{x-1}$的導(dǎo)數(shù)為y′=$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
即有切線的斜率為$\frac{1}{（m-1）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
解得m=1+$\sqrt{2}$（負(fù)的舍去），
切點為（1+$\sqrt{2}$，1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
則|x-2y|的最小值為|1+$\sqrt{2}$-2（1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）|=2$\sqrt{2}$-1．
故答案為：2$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查最值的求法，注意運用導(dǎo)數(shù)求得切點，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．