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已知函數f(x)=
f1(x)；x∈[0，
1
2
)
f2(x)；x∈[
1
2
，1]
．其中f1(x)=1-2(x-
1
2
)2，f2(x)=-2x+2
（1）求函數的最大值和最小值
（2）若x0∈[0，
1
2
)，x1=f(x0)，f(x1)=x0，求x0的值．
分析：（1）由分段函數的特點，分別代入可得取值范圍，綜合可得；
（2）由x0的范圍，選擇解析式可得x1，再由x1的范圍可選解析式，代入可得x0的方程，解之即可．
解答：解：（1）當x∈[0，
1
2
)時，f(x)=1-2(x-
1
2
)2在[0，
1
2
)上增，∴
1
2
≤f(x)＜1，
而當x∈[
1
2
，1]時，f（x）=-2x+2減，∴0≤f（x）≤1
綜上可得：f（x）的最大值為1，最小值為0；
（2）x0∈[0，
1
2
)，x1=f(x0)=1-2(x0-
1
2
)2，
由上得x1∈[
1
2
，1)，∴f（x1）=-2x1+2=2-2[1-2(x0-
1
2
)2]=x0，
整理可得4x02-5x0+1=0，解得x0=1或x0=
1
4
，
由條件得x0=
1
4
即為所求．
點評：本題考查分段函數的最值問題，分段代入是解決問題的關鍵，屬中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）的定義域是（0，+∞），當x＞1時，f（x）＜0，且f（x•y）=f（x）+f（y）．
（Ⅰ）證明f（x）在定義域上是減函數；
（Ⅱ）如果f(
3
3
)=1，求滿足不等式f(x)-f(
1
x-2
)≥-2的x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lnx-
12
ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）試用含a的式子表示b，并求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（0＜x1＜x2）為函數f（x）圖象上不同兩點，G（x0，y0）為AB的中點，記AB兩點連線斜率為K，證明：f′（x0）≠K．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x），當x、y∈R時，恒有f（x）-f（y）=f（x-y）．
（Ⅰ）求證：f（x）是奇函數；
（Ⅱ）如果x＜0時，f（x）＞0，并且f（2）=-1，試求f（x）在區(qū)間[-2，6]上的最值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意x∈[-2，6]，不等式f（x）＞m2+am-5對任意a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：河南模擬 題型：解答題

已知函數f(x)=lnx-
1
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ax2+bx（a＞0）且f′（1）=0，
（1）試用含a的式子表示b，并求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2）（0＜x1＜x2）為函數f（x）圖象上不同兩點，G（x0，y0）為AB的中點，記AB兩點連線斜率為K，證明：f′（x0）≠K．

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科目：高中數學 來源： 題型：

(理)已知函數f(x)=xlnx.

(1)求函數f(x)的單調區(qū)間和最小值;

(2)當b＞0時，求證:bb≥(其中e=2.718 28…是自然對數的底數);

(3)若a＞0,b＞0，證明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).

(文)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所滿足的關系式記為y=f(x).若f′(x)為f(x)的導函數,F(x)=f(x)+af′(x)(a＞0),且F(x)是R上的奇函數.

(1)求和c的值.

(2)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間(用字母a表示).

(3)當a=2時,設0＜t＜4且t≠2,曲線y=f(x)在點A(t,f(t))處的切線與曲線y=f(x)相交于點B(m,f(m))(A與B不重合),直線x=t與y=f(m)相交于點C,△ABC的面積為S,試用t表示△ABC的面積S(t),并求S(t)的最大值.

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