Question

18．已知定義在R上的偶函數f（x），當x∈（-∞，0]時的解析式為f（x）=x²+2x
（1）求函數f（x）在R上的解析式；
（2）畫出函數f（x）的圖象并直接寫出它的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知中，x∈（-∞，0]時的解析式為f（x）=x²+2x，我們可由x＞0時，-x＜0，代入求出f（-x），進而根據y=f（x）是偶函數，得到x＞0時，f（x）的解析式；
（2）根據分段函數分段畫的原則，結合（1）中函數的解析式，我們易畫出函數的圖象，結合圖象，我們根據從左到右圖象上升，函數為增函數，圖象下降，函數為減函數的原則，得到函數的單調性．

解答 解：（1）當x＞0時，-x＜0，f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x
又f（x）為偶函數，∴f（-x）=f（x）
∴f（x）=x²-2x
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{x^2}-2x，x＞0\\{x^2}+2x，x≤0\end{array}\right.$…（6分）
（2）

…（9分）
單調遞增區(qū)間為：（-1，0），（1，+∞）
單調遞減區(qū)間為：（0，1），（-∞，-1）…（13分）

點評 本題考查的知識點是偶函數，函數解析式的求解，函數圖象的作法，圖象法判斷函數的單調性，其中根據偶函數的性質，求出函數的解析式是解答本題的關鍵．