Question

定義：若函數(shù)f（x）為定義域D上的單調(diào)函數(shù)，且存在區(qū)間（m，n）⊆D（m＜n），使得當(dāng)x∈（m，n）時(shí)，f（x）的取值范圍恰為（m，n），則稱函數(shù)f（x）是D上的“正函數(shù)”． 已知函數(shù)f （x）=a^x（a＞1）為R上的“正函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，y=f（x）-x=a^x-x有兩個(gè)零點(diǎn)，求導(dǎo)y′=lna•a^x-1；從而得

1

lna

-loga

1

lna

＜0；從而求解．

解答： 解：由題意，y=f（x）-x=a^x-x有兩個(gè)零點(diǎn)，
y′=lna•a^x-1；
故y=a^x-x在定義域上先減后增，
且當(dāng)x=0時(shí)，y＞0；
故當(dāng)a^x=

1

lna

時(shí)，y＜0；
即

1

lna

-loga

1

lna

＜0；
故a∈（1，e 

1

e

）；
故答案為：（1，e 

1

e

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．