Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}+3，x≥0\\ ax+b，x＜0\end{array}\right.$滿足條件：對于?x₁∈R，且x₁≠0，?唯一的x₂∈R且x₁≠x₂，使得f（x₁）=f（x₂）．當f（2a）=f（3b）成立時，則實數(shù)a+b=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$+3
• D． $-\frac{{\sqrt{6}}}{2}$+3

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上單調，得到a，b的關系進行求解即可．

解答 解：若對于?x₁∈R，存在唯一的x₂∈R，使得f（x₁）=f（x₂）．
∴f（x）在（-∞，0）和（0，+∞）上單調，
則b=3，且a＜0，
由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），
即2a²+3=$\sqrt{9}$+3=3+3，
即a=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則a+b=-$\frac{\sqrt{6}}{2}$+3，
故選：D

點評 本題主要考查分段函數(shù)的應用，根據(jù)條件得到a，b的關系是解決本題的關鍵．