Question

15．設(shè)△ABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別是a，b，c，若△ABC 的面積為2$\sqrt{3}$，AB 邊上的中線長為2，且$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$bcosC+csinB，則邊b=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可求tanB，結(jié)合B的范圍可求B的值，利用三角形面積公式可求ac=8，再利用余弦定理可求c²=32-4a²，聯(lián)立解得a，c的值，進(jìn)而利用余弦定理可求b的值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$a=$\sqrt{3}$bcosC+csinB，
∴由正弦定理得：$\sqrt{3}$sinA=$\sqrt{3}$sinBcosC+sinCsinB，
∴$\sqrt{3}$sinBcosC+$\sqrt{3}$cosBsinC=$\sqrt{3}$sinBcosC+sinCsinB，
可得：$\sqrt{3}$cosBsinC=sinCsinB，
∵C為三角形內(nèi)角，sinC≠0，可得：$\sqrt{3}$cosB=sinB，
∴可得：tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$，
如圖，設(shè)D為AB的中點(diǎn)，則CD=2，
∵△ABC 的面積為2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×ac×\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得：ac=8，①
又∵在△BCD中，由余弦定理可得：2²=（$\frac{c}{2}$）²+a²-2×$\frac{c}{2}×a×$$\frac{1}{2}$，
整理可得：4=$\frac{{c}^{2}}{4}$+a²-$\frac{1}{2}$ac=$\frac{{c}^{2}}{4}$+a²-4，解得：c²=32-4a²，②
∴聯(lián)立①②，解得：c=4，a=2，
∴在△ABC中，由余弦定理可得：b=$\sqrt{{a}^{2}+{c}^{2}-2accosB}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}-2×2×4×\frac{1}{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．