Question

11．設橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1的左右交點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P在橢圓上，且滿足$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=9，則|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|的值為（　�。�

• A． 8
• B． 10
• C． 12
• D． 15

Answer 1

分析 根據(jù)橢圓的定義可判斷|PF₁|+|PF₂|=8，平方得出|PF₁|²+|PF₂|²，再利用余弦定理求解即可．

解答 解：∵P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1一點，F(xiàn)₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，
∴|PF₁|+|PF₂|=8，|F₁F₂|=4，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=9，即|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|cosθ=9，
16=|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|²+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|²-2|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|•|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|cosθ
=（|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|+|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|）²-2|PF₁|•|PF₂|-18=64-2|PF₁|•|PF₂|-18=16，
∴|PF₁|•|PF₂|=15，
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的定義以及簡單性質的應用，焦點三角形的問題，結合余弦定理整體求解，屬于中檔題．