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12.已知函數(shù)f(x)的值滿足f(x)<0,對任意實數(shù)x,y都有f(xy)=f(x)•f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,當(dāng)0<x<1時,f(x)∈(0,1).
(1)求f(1)的值,判斷f(x)的奇偶性并證明;
(2)判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性,并給出證明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤\root{3}{9},求a的取值范圍.

分析 (1)利用賦值法,令y=-1,代入抽象函數(shù)表達(dá)式即可證明函數(shù)的奇偶性;
(2)先證明當(dāng)x>0時,f(x)>0,再利用已知和單調(diào)函數(shù)的定義,證明函數(shù)f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;
(3)先利用賦值法求得f(3)=\root{3}{9}再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可

解答 解:(1)令x=y=-1,可得f(1)=1…(2分)令y=-1,則f(-x)=f(x)•f(-1),∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),f(x)為偶函數(shù).
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),
證明如下:若x>0,則f(x)=f(xx)≥0.
若存在x0>0,使得f(x0)=0,則f(27)=f(27x0x0)=f(27x0)×f(x0)=0與已知矛盾,
∴當(dāng)x>0時,f(x)>0
設(shè):0<x1<x2,∴0x1x21,由題設(shè)知0fx1x21
fx1=fx1x2x2=fx1x2fx2,∴fx1fx2=fx21fx1x2…(8分)
0fx1x21fx20∴f(x1)<f(x2),
故f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(3)∵f(27)=9,而f(27)=f(3×9)=f(3)×f(9)=[f(3)]3{[f(3)]^3}=9,則f(3)=\root{3}{9}f(a+1)≤\root{3}{9}
∴f(a+1)≤f(3),∴a+1≤3,a≥0⇒0≤a≤2.
∴a的取值范圍:[0,2].

點評 本題考查了抽象函數(shù)表達(dá)式的意義和運用,函數(shù)奇偶性的定義和判斷方法,函數(shù)單調(diào)性定義及其證明,利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的方法

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