Question

1．已知k＞0，且不等式$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y≤kx+2}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域的面積為S，則（k-2）S²的最大值等于$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算出三角形的面積，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
∵k＞0，∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-$\frac{2}{k}$，即B（-$\frac{2}{k}$，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即A（0，2），
則三角形的面積S=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{k}$×2=$\frac{2}{k}$，
則（k-2）S²=（k-2）（$\frac{2}{k}$）²=$\frac{4k-8}{{k}^{2}}$=-8（$\frac{1}{k}$）²+$\frac{4}{k}$=-8（$\frac{1}{k}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{1}{2}$，
∵k＞0，∴$\frac{1}{k}$＞0，
則當(dāng)$\frac{1}{k}$=-$\frac{1}{4}$時(shí)，（k-2）S²取得最大值，最大值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的求解，結(jié)合線性規(guī)劃以及一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．