Question

1．a(chǎn)是不為1的有理數(shù)，我們把$\frac{1}{1-a}$稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是$\frac{1}{1-2}$=-1，-2的差倒數(shù)為$\frac{1}{1-（-2）}$=$\frac{1}{3}$．已知a₁=-$\frac{1}{3}$，a₂是a₁的差倒數(shù)，a₃是a₂的差倒數(shù)，a₄是a₃的差倒數(shù)，…，依此類推．根據(jù)你對差倒數(shù)的理解完成下面問題：
（1）a₂=$\frac{3}{4}$，a₃=4，a₄=-$\frac{1}{3}$；
（2）通過（1）中的結果計算a₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析 （1）把a₁代入差倒數(shù)的關系式，計算出a₂，a₃，a₄…，；
（2）由（1）得a_n+3=a_n，即{a_n}是一個周期為3的數(shù)列，再根據(jù)周期求解．

解答 解：（1）根據(jù)題設條件，由a₁=-$\frac{1}{3}$得，
a₂=$\frac{1}{1-（-\frac{1}{3}）}$=$\frac{3}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-\frac{3}{4}}$=4，
a₄=$\frac{1}{1-4}$=-$\frac{1}{3}$=a₁，
故答案為：$\frac{3}{4}$；4；-$\frac{1}{3}$．
（2）由（1）可知，a_n+3=a_n，
即{a_n}是一個周期為3的數(shù)列，
且前三項分別為：-$\frac{1}{3}$，$\frac{3}{4}$，4，數(shù)值周期往復，
因此，a₂₀₁₃=a_670×3+3=a₃=4．

點評 本題主要考查了探究數(shù)字的變化規(guī)律，理解差倒數(shù)的定義，涉及數(shù)列的周期性，屬于中檔題．