Question

6．左、右焦點分別為F₁、F₂的橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與焦點為F的拋物線C₂：x²=2y相交于A、B兩點，若四邊形ABF₁F₂為矩形，且△ABF的周長為3+2$\sqrt{2}$．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）過橢圓C₁上一動點P（不在x軸上）作圓O：x²+y²=1的兩條切線PC、PD，切點分別為C、D，直線CD與橢圓C₁交于E、G兩點，O為坐標原點，求△OEG的面積S_△OEG的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據A為通徑的端點，可得A（c，$\frac{^{2}}{a}$），帶入x²=2y得c²=$\frac{2^{2}}{a}$，結合△ABF的周長2c+$\frac{2^{2}}{a}$+1=3+2$\sqrt{2}$．解出a，b，c值，可得橢圓C₁的方程；
（2）設P（2m，2n）（n≠0），可得以線段OP為直徑的圓的方程與單位圓相減，可得直線CD的方程，聯(lián)立橢圓方程，代入三角形面積公式，結合二次函數的圖象和性質，可得△OEG的面積S_△OEG的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得A（c，$\frac{^{2}}{a}$），帶入x²=2y得c²=$\frac{2^{2}}{a}$，
又△ABF的周長為：2c+$\frac{2^{2}}{a}$+1=3+2$\sqrt{2}$，
所以a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
所以橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）設P（2m，2n）（n≠0），則以線段OP為直徑的圓的方程為（x-m）²+（y-n）²=m²+n²，
又圓O的方程為x²+y²=1，
兩式相減得直線CD的方程為2mx+2ny=1．
由$\left\{\begin{array}{l}2mx+2ny=1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\end{array}\right.$得（4m²+2n²）x²-4mx+1-8n²=0，
設E（x₁，y₁）、G（x₂，y₂），
則S_△OEG=$\frac{1}{2}$|x₁y₂-x₂y₁|=$\frac{1}{4n}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{16{m}^{2}+8{n}^{2}-1}{（8{m}^{2}+4{n}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{\frac{2}{8{m}^{2}+4{n}^{2}}-\frac{1}{{（8{m}^{2}+4{n}^{2}）}^{2}}}$，
令t=$\frac{1}{8{m}^{2}+4{n}^{2}}$，則S_△OEG=$\sqrt{-2{t}^{2}+4t}$，t∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]
∵y=-2t²+4t的圖象是開口朝下，且以直線t=1為對稱軸的拋物線，故t∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{2}$]時，函數為增函數，
故S_△OEG∈$（{\frac{{\sqrt{30}}}{8}，\frac{{\sqrt{6}}}{2}}]$．

點評 本題考查的知識點是拋物線的性質，橢圓的性質，圓的性質，二次函數的圖象和性質，三角形面積公式，綜合性可，難度較大．