Question

1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B=60°，b=7，sinA-sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求cos（2A-B）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理和余弦定理，解方程組求得a的值；
（Ⅱ）利用余弦定理求得cosA的值，可得sinA的值，利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用兩角和差的三角公式求得cos（2A-B）的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，∵B=60°，b=7，sinA-sinC=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$，
由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，即$\frac{a}{sinA}$=$\frac{7}{sin60°}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴a-c=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$（sinA-sinC）=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$•$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=3 ①．
再由余弦定理可得b²=49=a²+c²-2ac•cos60°，
即a²+c²-ac=49=（a-c）²+ac=9+ac，∴ac=40 ②．
由①②求得a=8，c=5．
（Ⅱ）由于cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{7}$，∴sinA=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，sin2A=2sinAcosA=$\frac{8\sqrt{3}}{49}$，
cos2A=2cos²A-1=-$\frac{47}{49}$，
∴cos（2A-B）=cos2AcosB+sin2AsinB=-$\frac{47}{49}$•$\frac{1}{2}$+$\frac{8\sqrt{3}}{49}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{23}{98}$．

點評 本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，二倍角公式，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．