Question

12．已知向量$\overrightarrow m=（f（x），2cosx），\;\;\overrightarrow n=（sinx+cosx，1）$且$\overrightarrow m\;\;∥\;\;\overrightarrow n$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式．
（2）若函數(shù)f（x）的圖象向下方平移1個單位，然后保持縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的一半，得到函數(shù)g（x）的圖象．求函數(shù)g（x）在$x∈[0，\frac{π}{8}]$上的最大值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）利用向量平行的結(jié)論，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）利用圖象變換，求出g（x），再求函數(shù)g（x）在$x∈[0，\frac{π}{8}]$上的最大值及相應(yīng)的x值．

解答 解：（1）由題意，f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象向下方平移1個單位，然后保持縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的一半，得到函數(shù)g（x）=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
$x∈[0，\frac{π}{8}]$，則4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴函數(shù)g（x）在$x∈[0，\frac{π}{8}]$上的最大值為$\sqrt{2}$，此時x=$\frac{π}{16}$．

點評 本題考查向量平行結(jié)論的運用，考查圖象變換，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．