Question

已知向量

m

=（

3

sin2x+2，cosx），

n

=（1，2cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=

m

•

n

-3．
（1）當(dāng)-

π

12

≤x≤

11

12

π時(shí)，用五點(diǎn)作圖法作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，若f（A）=1，a=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象,正弦定理,余弦定理

專題：圖表型,三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用平面向量的運(yùn)算及倍角公式化簡(jiǎn)可得解析式f（x）=2sin（2x+

π

6

），由五點(diǎn)法即可做出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）由函數(shù)f（x）的表達(dá)式，解出A的值，利用余弦定理a²=c²+b²-2cbcosA的式子，結(jié)合基本不等式解出cb的最大值，．由此利用三角形的面積公式求△ABC面積的最大值．

解答：解：（1）f（x）=

m

•

n

-3=

3

sin2x+2+2cos²x-3=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）
列表：

x	- π 12	π 6	5π 12	2π 3	11π 12
2x+ π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
y=2sin（2x+ π 6 ）	0	2	0	-2	0

畫簡(jiǎn)圖：

（2）由f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，解得sin（2A+

π

6

）=

1

2

∵C是△ABC的內(nèi)角，∴2A+

π

6

=

5π

6

，得A=

π

3

由余弦定理，得3=c2+b2-2cb•

1

2

≥2cb-cCb=cb
∴cb≤3
因此，△ABC面積的最大值為S=

1

2

cb•sinA=

1

2

×3×

1

2

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、五點(diǎn)作圖法、平面向量的應(yīng)用、正余弦定理和基本不等式求最值等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．