Question

設△ABC重心為G，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，若a

GA

+

3

5

b

GB

+

3

7

c

GC

=

0

，則∠C=

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：△ABC重心為G，可得

GA

+

GB

+

GC

=

0

，代入a

GA

+

3

5

b

GB

+

3

7

c

GC

=

0

，整理為(

3

5

b-a)

GB

=(a-

3

7

c)

GC

．由G為△ABC重心，可知：

GB

與

GC

不可能共線．可得

3

5

b-a=a-

3

7

c=0，再利用余弦定理即可得出．

解答： 解：∵△ABC重心為G，
∴

GA

+

GB

+

GC

=

0

，
∴

GA

=-(

GB

+

GC

)，
∵a

GA

+

3

5

b

GB

+

3

7

c

GC

=

0

，
∴-a(

GB

+

GC

)+

3

5

b

GB

+

3

7

c

GC

=

0

，
化為(

3

5

b-a)

GB

=(a-

3

7

c)

GC

，
∵G為△ABC重心，
∴

GB

與

GC

不可能共線．
∴

3

5

b-a=a-

3

7

c=0，
∴a=

3

7

c，b=

5

7

c．
由余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

( 3 7 c)2+( 5 7 c)2-c2

2× 3 7 c× 5 7 c

=-

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

2π

3

．
故答案為：

2π

3

．

點評：本題考查了三角形重心性質、余弦定理、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．