Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A，使∠F₁AF₂=90°且|AF₁|=3|AF₂|，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)橢圓的定義建立|AF₁|+|AF₂|=2a，|AF₁|=3|AF₂|進(jìn)一步求得：|AF2|=

a

2

，|AF1|=

3a

2

，再利用定義關(guān)系式和勾股定理解得：8c²=5a²，最后進(jìn)一步解得離心率．

解答： 解：設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)A根據(jù)橢圓定義：|AF₁|+|AF₂|=2a所以：|AF2|=

a

2

，|AF1|=

3a

2

由于：∠F₁AF₂=90°
所以：|AF1|2+|AF2|2=4c2
則：|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2
進(jìn)一步解得：8c²=5a²
所以：e=

10

4

故答案為：e=

10

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：橢圓的定義關(guān)系式，勾股定理，橢圓的離心率及相關(guān)的運(yùn)算．